Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠ABC+.

（1）求证：AB=AC；

（2）如图2，点D为AC垂直平分线上一点（点D在AC的右侧），连接BD，∠DBC=30°，∠ABC 的平分线AE交BD于点E；

①求证：△ACD 为等边三角形；

②若AE=nBE，△ABC 的面积记为S△ABC ，△BDC的面积记为S△BDC，则的值为_____.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②．

【解析】

（1）由已知得出2∠ABC+∠BAC=180°，由三角形内角和定理得出∠ABC=∠ACB，即可得出结论；
（2）①延长AE，交BC于点F，连接CE，则AF垂直平分BC，由线段垂直平分线的性质得出AD=CD，由∠DBC=30°，得出∠BEF=∠CEF=∠AED=∠DEC=60°，即ED平分∠AEC，作DG⊥AE于G，DH⊥EC于H，则DG=DH，由HL证得Rt△ADG≌Rt△CDH，得出∠ADC=∠GDH=180°-∠GEH=60°，即可得出结论；
②设AG=CH=x，则EG=EH=EC+CH=BE+x，得出AE=AG+EG=BE+2x=nBE，求出x= BE，AF=AE+EF=nBE+BE=（n+）BE，GF=AF-AG=（n+）BE-BE=（ +1）BE，由三角形面积公式即可得出结论．

（1）证明：∵在△ABC中，∠ABC+∠BAC=90°，
∴2∠ABC+∠BAC=180°，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（2）①证明：延长AE，交BC于点F，连接CE，
则AF垂直平分BC，如图2所示：
∵点D为AC垂直平分线上一点，
∴AD=CD，
∵∠DBC=30°，
∴∠BEF=∠CEF=∠AED=∠DEC=60°，
即ED平分∠AEC，
作DG⊥AE于G，DH⊥EC于H，
则DG=DH，
在Rt△ADG和Rt△CDH中，

，
∴Rt△ADG≌Rt△CDH（HL），
∴∠ADC=∠GDH=180°-∠GEH=60°，
∴△ACD为等边三角形；
②解：设AG=CH=x，则EG=EH=EC+CH=BE+x，
∴AE=AG+EG=BE+2x=nBE，
∴x=BE．
AF=AE+EF=nBE+BE=（n+）BE，
GF=AF-AG=（n+）BE-BE=（+1）BE，
∴，
故答案为：．