Question

【题目】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC.

（1）求证BF⊥AC；

（2）若AE=2，BE=4，AF=，求AD的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3．

【解析】

（1）根据SAS推出△BED≌△ACD，根据全等三角形的性质得出∠CAD=∠DBE，根据三角形内角和定理求出∠DBE+∠BED=90°，求出∠AEF+∠CAD=90°，根据三角形内角和定理求出∠AFE=90°，即可得出答案．
（2）由全等三角形的性质得出BE=AC=4，证明△AEF∽△ACD得出，即可得出结果．

（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
在△BED和△ACD中，

，
∴△BED≌△ACD（SAS），
∴∠CAD=∠DBE，
∵∠BDE=90°，
∴∠DBE+∠BED=90°，
∵∠BED=∠AEF，∠DBE=∠CAD，
∴∠AEF+∠CAD=90°，
∴∠AFE=180°-90°=90°，
∴BF⊥AC．
（2）解：∵△BED≌△ACD，
∴BE=AC=4，
∵∠EAF=∠CAD，∠AFE=∠ADC=90°，
∴△AEF∽△ACD，
∴，
∴AD=2AF=3．