Question

【题目】如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG。

(1)求证：矩形DEFG是正方形。

(2)当点E从A点运动到C点时；

①求证：∠DCG的大小始终不变；

②若正方形ABCD的边长为2，则点G运动的路径长为 。

Answer 1

【答案】(1)详见解析;（2）①详见解析;②

【解析】

（1）要证明矩形DEFG为正方形，只需要证明它有一组临边（DE和EF）相等即可，而要证明两条线段相等，需证明它们所在的三角形全等，如下图本小题的关键是证明△EMF≌△END，∠MEF=∠NED可用等角的余角证明，EM=EN可用角平分线上的点到角两边距离相等，∠EMF和∠END为一组直角相等，所以可以用ASA证明它们全等；

（2）此类题，前面的问题是给后面做铺垫，第一问已经证明四边形DEFG为正方形，结合第一问我们很容易发现并证明△ADE≌△CDG，从而得到∠DCG=∠CAD=45°；

（3）当当E点在A处时，点G在C处；当E点在C处时，点G在AD的延长线上，并且AD=DG，以CD为边作正方形，我们会发现G点的运动轨迹刚好是正方形的对角线，它的长度等于.

证明:(1)

作EM⊥BC,EN⊥CD,

∵四边形ABCD为正方形

∴∠DCB=90°，∠ACB=∠ACD=45°

又∵EM⊥BC,EN⊥CD，

∴EM=EN（角平分线上的点到角两边距离相等），

∠MEN=90°，

∴∠MEF+∠NEF=90°，

∵四边形DEFG为矩形，

∴∠DEF=90°，

∴∠NED+∠NEF=90°，

∴∠MEF=∠NED，

在△EMF和△END中

∵

∴△EMF≌△END，

∴DE=DF,

∴矩形DEFG为正方形；

（2）①证明：∵正方形ABCD、DEFG

∴AD=CD，ED=GD

∵∠ADE+∠DEC=90°，∠CDG+∠EDC=90°

∴∠ADE=∠CDG

在△ADE和△CDG中，

∵AD=CD，∠ADE=∠CDG，ED=GD

∴△ADE≌△CDG

∴∠DCG=∠EAD=45°

∴∠DCG的大小始终保持不变

②

以CD为边作正方形DCPQ，连接QC

∴∠DCQ=45°，

又∵∠DCG=45°

∴C、G、Q在同一条直线上，

当E点在A处时，点G在C处；当E点在C处时，点G在Q处，

∴G点的运动轨迹为QC，

∵正方形ABCD的边长为2

所以QC= ，

即点G运动的路径长为