【题目】如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，BH=5．

探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH= ，AC= ，△ABC的面积 ；

拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A.C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为）

（1）用含x，m，n的代数式表示及；

（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；

（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，直接写出这样的x的取值范围．

参考答案：

【答案】探究：12；15；84；拓展：(1)=mx；=nx；(2)m+n=；m+n有最大值15；m+n的最小值为12；(3) 11.2.

【解析】试题分析：探究：根据勾股定理计算即可；

拓展：（1）根据三角形的面积公式计算；

（2）根据△ABC的面积是84，列出关系式，求出（m+n）与x的函数关系式，结合图形求出（m+n）的最大值和最小值；

（3）根据当BD⊥AC时，m+n有最大值解答．

试题解析：探究：由勾股定理得，AH==12，

AC==15，

△ABC的面积S△ABC=×BC×AH=84.

故答案为：12；15；84；

拓展：（1）=×BD×AE=mx，

=×BD×CH=nx；

（2）mx+nx=84，

m+n=，

当BD⊥AC时，m+n有最大值15，

当BD值最大时，m+n有最小值．

∴当点D与点C重合时m+n有最小值．

∴m+n的最小值为=12；

（3）当BD⊥AC时，

x=BD==11.2，只能确定唯一的点D．

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