Question

【题目】【问题引入】 已知：如图BE、CF是△ABC的中线，BE、CF相交于G．求证： = =

证明：连结EF
∵E、F分别是AC、AB的中点
∴EF∥BC且EF= BC
∴ = = =
【思考解答】
（1）连结AG并延长AG交BC于H，点H是否为BC中点（填“是”或“不是”）
（2）①如果M、N分别是GB、GC的中点，则四边形EFMN 是四边形． ②当 的值为时，四边形EFMN 是矩形．
③当 的值为时，四边形EFMN 是菱形．
④如果AB=AC，且AB=10，BC=16，则四边形EFMN的面积S= ．

Answer 1

【答案】
（1）是
（2）平行；1；；16
【解析】解：（1）如图，连结EF，交AG于O，
∵E、F分别是AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC且EF= BC，
∴ = = = ，
∵OE∥BH，
∴ = = ，
∵OE∥CH，
∴ = = ，
∴ = ，
∴BH=CH，即点H是BC中点；
所以答案是：是；
·（2）①∵M、N分别是GB、GC的中点，
∴MN是△GBC的中位线，
∴MN∥BC且MN= BC，
由（1）可得，EF∥BC且EF= BC，
∴EF∥MN，EF=MN，
∴四边形EFMN是平行四边形，
所以答案是：平行；
②当四边形EFMN是矩形时，FG=EG，
∵ = = ，
∴GB=GC，
∴∠GBC=∠GCB，
又∵H是BC的中点，
∴GH⊥BC，即AH⊥BC，
∴AH垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴ 的值为1，
所以答案是：1；
③当四边形EFMN是菱形时，MN=FM，
∵MN是△BCG的中位线，
∴MN= BC，
∵FM是△ABG的中位线，
∴FM= AG，
又∵G是△ABC的重心，
∴AG= AH，
∴FM= AG= AH，
∴ BC= AH，即2BC=3AH，
∴ 的值为 ，
所以答案是： ；
④当AB=AC时，由②可得四边形EFMN是矩形，AH⊥BC，
∵AB=10，BC=16，
∴BH= BC=8，AH=6，
∵MN是△BCG的中位线，
∴MN= BC=8，
∵FM是△ABG的中位线，
∴FM= AG= AH=2，
∴矩形EFMN的面积S=FM×MN=2×8=16，
所以答案是：16．
【考点精析】掌握三角形中位线定理和平行线分线段成比例是解答本题的根本，需要知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．