Question

【题目】已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．

（1）试直接写出点D的坐标；
（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．
①若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；
②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO﹣TB|的值最大？

Answer 1

【答案】
（1）

解：依题意得：D（﹣ ，2）；

（2）

解：①∵OC=3，BC=2，

∴B（3，2）；

∵抛物线经过原点，

∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx （a≠0）

又抛物线经过点B（3，2）与点D（﹣ ，2）；

∴

解得：

∴抛物线的解析式为y= ；

∵点P在抛物线上，

∴设点P（x， ）；

1）、若△PQO∽△DAO，则 ， ，

解得：x1=0（舍去）或x2= ，

∴点P（ ）；

2）、若△OQP∽△DAO，则 ， ，

解得：x1=0（舍去）或x2= ，

∴点P（ ，6）；

②存在点T，使得|TO﹣TB|的值最大．

抛物线y= 的对称轴为直线x= ，设抛物线与x轴的另一个交点为E，则点E（ ，0）；

∵点O、点E关于直线x= 对称，

∴TO=TE

要使得|TO﹣TB|的值最大，

即是使得|TE﹣TB|的值最大，

根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、B三点在同一直线上时，|TE﹣TB|的值最大；

设过B、E两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），

∴

解得：

∴直线BE的解析式为y= x﹣2；

当x= 时，y=

∴存在一点T（ ，﹣1）使得|TO﹣TB|最大．

【解析】（1）由于M是AB的中点，即可得到AM= ，由此可求出M点的坐标，将M点坐标向左平移3个单位即可得到点D的坐标；（2）①根据B、D的坐标即可确定抛物线的解析式，设出P点的横坐标，根据抛物线的解析式可得到P点纵坐标的表达式；由于∠PQO=∠DAO=90°，若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，则有两种情况：1）、△PQO∽△DOA，2）、△OQP∽△DAO；根据上述两种情况所得的不同比例线段，即可求出P点的坐标；②由于D、B关于抛物线的对称轴对称，若|TO﹣TB|的值最大，那么T点必为直线DO与抛物线对称轴的交点，根据抛物线的解析式可求出其对称轴方程，根据D点的坐标可求得直线DO的解析式，联立两个函数的解析式，即可求得T点的坐标．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．