Question

【题目】如图，已知二次函数图象的对称轴为直线x=2，顶点为点C，直线y=x+m与该二次函数的图象交于点A，B两点，其中点A的坐标为（5，8），点B在y轴上．

（1）求m的值和该二次函数的表达式．P为线段AB上一个动点（点P不与A，B两点重合），过点P作x轴的垂线，与这个二次函数的图象交于点E．
①设线段PE的长为h，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
②若直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点为D，求当四边形DCEP是平行四边形时点P的坐标．
（2）若点P（x，y）为直线AB上的一个动点，试探究：以PB为直径的圆能否与坐标轴相切？如果能请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： A的坐标为（5，8）在直线y=x+m上，

∴8=5+m，

∴m=3，

∴直线AB解析式为y=x+3，

∴B（0，3），

设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+k，

∵点A，B在抛物线上，

∴ ，

∴ ，

∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3，顶点C（2，﹣1）

①∵点P在线段AB上，

∴P（x，x+3）（0≤x≤5），

∵PE⊥x轴，交抛物线与E，P（x，x+3），

∴E（x，x2﹣4x+3），

∴h=PE=x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+5x，（0≤x≤5）

②∵直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点为D，

∴D（2，5），

∴DC=6，

∵四边形DCEP是平行四边形，

∴PE=DC=6，

∵PE=|﹣x2+5x|，

Ⅰ、当0≤x≤5时，﹣x2+5x=6，

∴x1=2（舍），x2=3，

∴P（3，6），

Ⅱ、当x＜0，或x＞5时，x2﹣5x=6，

∴x3=﹣1，x4=6，

∴P（﹣1，2）或P（6，9），（舍）

即：点P的坐标为（3，6）

（2）解：∵点P（x，y）为直线AB上的一个动点，

∴P（x，x+3），

∴点P到x轴的距离为|x+3|，到y轴的距离为|x|，

∵点B（0，3），

∴BP= |x|，

∵以PB为直径的圆能与坐标轴相切，

∴①以PB为直径的圆能与y轴相切，

∴|x|= |x|，

∴x=0（舍），

②以PB为直径的圆能与x轴相切，

∴|x+3|= |x|，

∴x=﹣6﹣3 或x=﹣6+3 ，

∴P（﹣6﹣3 ，﹣3+3 ）或P（﹣6﹣3 ，﹣3﹣3 ）．

故存在点P，坐标为P（﹣6+3 ，﹣3+3 ）或P（﹣6﹣3 ，﹣3﹣3 ）时，以PB为直径的圆能与坐标轴相切

【解析】（1）易由点A的坐标为（5，8）可得直线AB解析式为y=x+3；从而求得B（0，3），结合对称轴直线x=2，可利用顶点式求得抛物线解析式，顶点C为（2，﹣1）。①从而PE的长为两个函数的差PE=x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+5x，（0≤x≤5）②易得直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点为D，点D坐标易得为（2，5），由四边形DCEP是平行四边形，PE=DC=6，由①中的函数解析式可得当0≤x≤5时，﹣x2+5x=6；当x＜0，或x＞5时，x2﹣5x=6计算得到点P的坐标为（3，6）
（2）由点P（x，y）为直线AB上的一个动点，可得P（x，x+3）所以点P到x轴的距离为|x+3|，到y轴的距离为|x|，由点B可得BP的长，可判断能与坐标轴相切；分类讨论与x轴或Y轴两种情况，可得最后结果及P取何值时可相切。