Question

【题目】如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

（1）如图1，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线．
（2）如图2，已知△ABC是特异三角形，且∠A=30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数．
（3）如图3，△ABC是一个腰长为2的等腰锐角三角形，且它是特异三角形，若它的顶角度数为整数，请求出其特异线的长度；若它的顶角度数不是整数，请直接写出顶角度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：如图1中，

∵DE是线段AC的垂直平分线，

∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，

∴∠EAC=∠C，

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，

∵∠B=2∠C，

∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，

∴AE是△ABC是一条特异线

（2）解：如图2中，

当BD是特异线时，如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°=15°=135°，

如果AD=AC，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，

如果AD=DB，DC=DB，则ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合题意舍弃）．

如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，则∠ABC=180°﹣20°﹣20°=140°

当CD为特异线时，不合题意．

∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°

（3）解：如图3中，

当BD是特异线时，有两种情形，如果AD=BD=BC，设∠A=x，则x+2x+2x=180°，解得x=36°，

设AD=BD=BC=a，

由△BCD∽△ABC得到 ，

∴ ，

∴a2+2a﹣4=0，

∴a=﹣1+ 或﹣1﹣ （舍弃）．

如果AD=BC，BC=CD，设∠A=x，则2x+2x+3x=180°解得x=（ ）°．

当AD是特异线时，如果DA=DB，CA=CD，设∠B=∠C=x，则x+2x+2x=180°，解得x=36°，

∴∠BAC=108°，不符合题意．

∴△ABC是一个腰长为2的等腰锐角三角形，且它是特异三角形，若它的顶角度数为整数，其特异线的长度为﹣1+ ，

若它的顶角度数不是整数，则顶角度数为（ ）°

【解析】（1）由DE是线段AC的垂直平分线，易得△EAC是等腰三角形；又∠B=2∠C，利用外角关系易得∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，特异线可证。
（2）由△ABC是特异三角形，且∠A=30°，易得若∠A分别为等腰三角形的顶角时，以及∠A为底角时∠ADB,∠ABD为顶角的情况，可能符合题意；还要考虑AD为特异线的情况；最后要注意检验∠B是否为钝角，可得最后结果
（3）当BD是特异线时，有两种情形，如果AD=BD=BC则可以利用相似可得a的结果，如果AD=BC，BC=CD解得顶角为分数，不用计算a
若当AD是特异线时，如果DA=DB，CA=CD算得顶角为钝角，不符合要求，舍去。最后总结两种结果。