Question

【题目】如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．

（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；
（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，

∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，

∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，

∴OE=OC，OF=OC，

∴OE=OF；

∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，

∴∠ECF=90°，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF= =10，

∴OC=OE= EF=5

（2）

解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：

当O为AC的中点时，AO=CO，

∵EO=FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠ECF=90°，

∴平行四边形AECF是矩形．

【解析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【考点精析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的性质定理的相关知识点，需要掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上才能正确解答此题．