Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，连接AD，BD.

（1）求证：∠ADC=∠ABD；
（2）若AD=2 ，⊙O的半径为3，求MD的长.

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，如图：

∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO=90°，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，

∴∠ADC+∠ADO=∠ADO+∠ODB=90°，∴∠ADC=∠ODB，

∵OB=OD，∴∠ODB=∠ADB，

∴∠ADC=∠ABD

（2）解：∵⊙O的半径为3，AB=6，

∵∠ADB=90°，∴DB═ ，

∵∠AMD=∠ADB=90°，∠ADC=∠ABD，

∴△ADM∽△ABD，

∴ ，即

∴DM=2

【解析】（1）利用切线的性质定理，需连接OD,再利用直径所对圆周角是直角，可证出结论；（2）由（1）的结论结合垂直，可证出△ADM∽△ABD，对应边成比例可求出DM.