Question

【题目】如图1，⊙O的直径AB为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧 向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.

（1）求证：△ABC∽△PDC
（2）如图2，当点P到达B点时，求CD的长；

（3）设CD的长为 .在点P的运动过程中， 的取值范围为（请直接写出案）.

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠PCD，

又∵∠A=∠P，

∴△ABC∽△PDC

（2）解：∵∠ABC=30°，AB=4，

∴BC= ，

∵△ABC∽△PDC，

∴∠D=∠ABC=30°，

∴CD=6

（3）解：如图，

∵AB是直径，∠ABC=30°，AB=4

∴∠ACB=90°，∠A=∠P=60°，AC=2，

∵CD⊥PC，

∴∠PCD=90°，CD=PCtan60°，

∵PC的最小值=AC=2，PC的最大值为直径=4，

∴CD的最小值为2 ，最大值为4 ，

∴2 ≤CD≤4

【解析】（1）利用圆周角定理，进而用"两角法"证出相似；（2）利用30度角的正切，由AB求出BC，再求出CD；（3）可用PC及三角函数表示出CD，当PC最小时，CD最小，CD最大，PC最大.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用圆周角定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．