Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）能，；（3）或4时，△DEF为直角三角形.

【解析】

在中，，，根据30°角直角三角形的性质及已知条件即可证得结论；

先证得四边形AEFD为平行四边形，使AEFD为菱形则需要满足的条件为AE=AD，由此即可解答；

时，四边形EBFD为矩形在Rt△AED中求可得，由此即可解答；时，由知，则得，求得，由此列方程求解即可；时，此种情况不存在．

在中，，，，

．

又，

．

能，

，，

．

又，

四边形AEFD为平行四边形．

，

．

．

若使AEFD为菱形，则需，

即，．

即当时，四边形AEFD为菱形．

时，四边形EBFD为矩形．

在中，，

．

即，．

时，由四边形AEFD为平行四边形知，

．

，

．

即，．

时，此种情况不存在．

综上所述，当秒或4秒时，为直角三角形．