Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，

∴MN∥AD，MN= AD，

在RT△ABC中，∵M是AC中点，

∴BM= AC，

∵AC=AD，

∴MN=BM

（2）

解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°，

由（1）可知，BM= AC=AM=MC，

∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，

∵MN∥AD，

∴∠NMC=∠DAC=30°，

∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，

∴BN2=BM2+MN2，

由（1）可知MN=BM= AC=1，

∴BN=

【解析】（1）根据三角形中位线定理得MN= AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM= AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．