Question

【题目】某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系．

（1）试求y与x之间的函数表达式；（2）设公司试销该产品每天获得的毛利润为S（元），求S与x之间的函数表达式（毛利润=销售总价-成本总价）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大？
（3）最大毛利润是多少？此时每天的销售量是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：设y与x之间的函数关系满足y=kx+b
把x=40，y=500；x=50，y=400
分别代入上式得：

40k+b＝500 50k+b＝400

解得

k＝10 b＝900

∴y=-10x+900
∵表中其它对应值都满足y=-10x+900
∴y与x之间的函数关系为一次函数，且函数表达式为y=-10x+900（30≤x≤80）；

（2）

解：毛利润S=（x-30）y=（x-30）（-10x+900）=-10x2+1200x-27000（30≤x≤80）

（3）

解：在S=-10x2+1200x-27000中
∵a=-10＜0，∴当x＝ ＝60时
∴S最大=-10×602+1200×60-27000=9000（元）
此时每天的销售量为：y=-10×60+900=300（件）．
∴当销售单价定为60元/件时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大，最大毛利润是9000元，此时每天的销售量是300件．

【解析】（1）利用待定系数法算出函数解析式；（2）注意对二次函数解析式整理时自变量的取值范围；（3）求函数的最值时要结合实际情况.