Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x﹣ 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2﹣ x+c（a≠0）经过A，B，C三点．

（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y=﹣ x﹣ 与x轴交于点A，与y轴交于点C

∴点A（﹣1，0），C（0，﹣ ）

∵点A，C都在抛物线上，

∴

∴

∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣

∴顶点F（1，﹣ ）

（2）

解：方法一：存在：

p1（0，﹣ ），p2（2，﹣ ）

方法二：

设P（t， ），A（﹣1，0），B（3，0），

∵PA⊥PB，∴KPA×KPB=﹣1，

=﹣1，

∴（t+1）（t﹣3）=﹣3，∴t1=0，t2=2，

∴P1（0，﹣ ），P2（2，﹣ ）．

（3）

解：存在

理由：

解法一：

延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′F交直线AC于点M，则点M就是所求的点，

∵过点B′作B′H⊥AB于点H，

∵B点在抛物线y= x2﹣ x﹣ 上，

∴B（3，0），

在Rt△BOC中，tan∠OBC=

∴∠OBC=30°，BC=2

在Rt△B′BH中，B′H= BB′=2

BH= B′H=6，∴OH=3，

∴B′（﹣3，﹣2 ）．

设直线B′F的解析式为y=kx+b，

∴ ，

解得 ，

∴y= ．

，

解得 ，

∴M（ ）

∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（ ）．

解法二：

过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点，连接BH交AC于点M，则点M

即为所求．

过点F作FG⊥y轴于点G，则OB∥FG，BC∥FH，

∴∠BOC=∠FGH=90°，∠BCO=∠FHG

∴∠HFG=∠CBO

同方法一可求得B（3，0）

在Rt△BOC中，tan∠OBC=

∴∠OBC=30°，可求得GH=GC=

∴GF为线段CH的垂直平分线，可证得△CFH为等边三角形

∴AC垂直平分FH

即点H为点F关于AC对称点，

∴H（0，﹣ ）

设直线BH的解析式为y=kx+b，由题意得， ，

解得 ，

∴y= ，

，

解得 ，

∴M（ ），

∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（ ）

【解析】（1）抛物线解析式中有两个待定系数a，c，根据直线AC解析式求点A、C坐标，代入抛物线解析式即可；（2）分析不难发现，△ABP的直角顶点只可能是P，根据已知条件可证AC2+BC2=AB2 ， 故点C满足题意，根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意；（3）由于B，F是定点，BF的长一定，实际上就是求BM+FM最小，找出点B关于直线AC的对称点B'，连接B'F，交AC于点M，点M即为所求，由（2）可知，BC⊥AC，延长BC到B'，使BC=B'C，利用中位线的性质可得B'的坐标，从而可求直线B'F的解析式，再与直线AC的解析式联立，可求M点坐标．
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．