Question

【题目】如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．
（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；
（2）如图3，如果α=45°，AB=2，AE=4 ，求点G到BE的距离．

Answer 1

【答案】
（1）解：由旋转的性质可知：∠BAE=∠DAG，由正方形的性质可知：AB=AD，AE=AG．

∵在△ABE和△ADG中， ，

∴△ABE≌△ADG．

∴BE=DG．

（2）解：连接GE、BG，延长AD交GE与H．

当α=45°时，则∠BAD=45°．

∵∠BAD=∠EAG=90°．

∴∠EAH=∠GAH=45°．

又∵AE=AG，

∴AH⊥GE．

又∵AH⊥AB，∠EAH=45°，

∴△AHE为等腰直角三角形．

∴EH=AH= AE=4．

∴EG=2EH=8．

∴S△BEG= EGAH= ×8×4=16．

设点G到BE的距离为h．

S△BEG= EBh=16，即 ×4 h=16，解得h=4 ．

∴点G到BE的距离为4

【解析】（1）由旋转的性质得到∠BAE=∠DAG，由正方形的性质得到AB=AD，AE=AG，然后依据SAS可证明△ABE≌△ADG，然后依据全等三角形的性质进行证明即可；（2）连接GE、BG，延长AD交GE与H．当α=45°时，可证明△AHE为等腰直角三角形，然后可求得AH和HE的长，然后依据等腰三角形三线合一的性质可得到EG=2HE，最后在△BEG中，利用面积法可求得点G到BE的距离．
【考点精析】关于本题考查的正方形的性质和旋转的性质，需要了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能得出正确答案．