Question

【题目】如图，△ABC是边长为m的正三角形，D，E，F分别在边AB，BC，CA上，AE，BF交于点P，BF，CD交于点Q，CD，AE交于点R，若 = = =k（0＜k＜ ）．

（1）求∠PQR的度数；
（2）求证：△ARD∽△ABE；
（3）求△PQR与△ABC的面积之比（用含k的代数式表示）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ = = =k，△ABC是等边三角形，

∴AB=CB=AC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AD=BE=CF，

∴△ABE≌△BCF≌△CAD，

∴∠BAE=∠CBQ=∠ACD，∴∠ABP=∠BCQ=∠CAR，

∴△ABP≌△BCQ≌△CAR，

∴∠APB=∠BQC=∠ARC，

∴180°﹣∠APB=180°﹣BQC=180°﹣ARC，

即∠RPQ=∠PQR=∠PRQ，

∵∠RPQ+∠PQR+∠PRQ=180°，

∴∠RPQ=∠PQR=∠PRQ=60°．

∴∠PQR=60°．

（2）

解：∵△PQR是等边三角形，

∴∠PRQ=60°，

∴∠ARD=∠PRQ=60°，

∴∠ARD=∠ABC=∠ABE，

∵∠DAR=∠EAB，

∴△ARD∽△ABE

（3）

解：作AH⊥BC于H．易知BH=CH= ，AH= m，BE=km，EH= m﹣km，

在Rt△AEH中，AE= = m，

∵△ARD∽△ABE，

∴ = = ，

∴AR= m，RD= m，PE=RD= m，

∴AP=AE﹣PE= m，

当0＜k＜ 时，RP=AP﹣AR= m，

∵△PQR，△ABC都是等边三角形，

∴ = = ．

【解析】（1）只要证明△ABP≌△BCQ≌△CAR，推出∠APB=∠BQC=∠ARC，推出180°﹣∠APB=180°﹣BQC=180°﹣ARC，即∠RPQ=∠PQR=∠PRQ，由此即可解决问题．（2）只要证明∠ARD=∠ABE=60°即可解决问题．（3）想办法求出等边三角形△PQR与△ABC的边长即可解决问题．
【考点精析】通过灵活运用等边三角形的性质和相似三角形的应用，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解即可以解答此题．