Question

【题目】把两块含45°角的直角三角板按图1所示的方式放置，点D在BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．
（1）如图1，求证：BE=AD，AF⊥BE；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转（如图2），连结BE、AD，AD分别交BE、BC于点F、G，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△BCE和△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD，∠EBC=∠CAD，

在Rt△ACD中，

∵∠CDA+∠CAD=90°，∠BDF=∠CDA

∴∠BDF+∠DBF=90°，

即：AF⊥BE

（2）成立，理由如下：

在△BCE和△ACD中，

∵∠BCE=∠ACD=90°，

∴∠DCE+∠DCB=∠ACB+∠BCD，

∴∠BCE=∠ACD，

在△BCE和△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD，∠EBC=∠CAD，

在Rt△ACG中，

∵∠CGA+∠CAG=90°，∠BGF=∠CGA．

∴∠BGF+∠GBF=90°，

即：AF⊥BE

【解析】（1）由SAS判定△ECB≌△DCA，根据全等三角形的性质可知：对应边相等AD=BE、对应角相等∠BEC=∠ADC；加上已知条件来求∠AFE=90°即可；（2）成立，利用已知条件可证明△BCE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质以及已知条件证明即可证明BE=AD，AF⊥BE．
【考点精析】利用旋转的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．