Question

【题目】如图，∠BAD=∠CAE=90o，AB=AD，AE=AC， AF⊥CF，垂足为F.

（1）若AC=10，求四边形ABCD的面积；

（2）求证：AC平分∠ECF；

（3）求证：CE=2AF .

Answer 1

【答案】（1）50（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】试题分析：（1）根据条件证明△ABC≌△ADE，然后四边形ABCD的面积可转化为等腰直角△ACE的面积，然后利用三角形的面积公式计算即可；（2）根据条件证明∠ACB=∠ACE=45°即可；（3））过点A作AG⊥CG，垂足为点G，利用角的平分线的性质证得AF=AG，利用直角三角形斜边上的中线的性质和等腰三角形的性质证得CG=AG=GE，即可得出结论．

试题解析：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD

∴∠BAC=∠EAD

在△ABC和△ADE中

∴△ABC≌△ADE（SAS）

∵

∴

（2）∵△ACE是等腰直角三角形，

∴∠ACE=∠AEC=45°，

由△ABC≌△ADE得：

∠ACB=∠AEC=45°，

∴∠ACB=∠ACE，

∴AC平分∠ECF

（3）过点A作AG⊥CG，垂足为点G

∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，

∴AF=AG，

又∵AC=AE，

∴∠CAG=∠EAG=45°，

∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，

∴CG=AG=GE，

∴CE=2AG，

∴CE="2AF"