Question

【题目】已知：AB＝AC，PA＝PC，若PA为△ABC的外接圆⊙O的切线

(1) 求证：PC为⊙O的切线；

(2) 连接BP，若sin∠BAC＝，求tan∠BPC的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：(1) 连接OA、OC, 证明△OAP≌△OCP，即可求出 即可证明.

连接AO，并延长交BC于D，连接OB、OC,得到BC∥PA,根据sin∠BAC＝sin∠BOD＝，设BD＝3，OB＝5，则OD＝4, 根据sin∠APC＝sin∠PCE＝，

求出PC＝15，CE＝12, 过点C作CF⊥BP于F ,证明△BCF∽△BPE，求出的长即可求解.

详解：(1) 连接OA、OC,

∵PA为⊙O的切线,

∴∠OCP＝90°,

连接OP,

可证：△OAP≌△OCP（SSS）,

∴∠OAP＝∠OCP＝90°，

∴PC为⊙O的切线,

(2) 连接AO，并延长交BC于D，连接OB、OC,

∵AB＝AC，OB＝OC∴AD为线段BC的垂直平分线,

∴AD⊥BC∵AD⊥AP,

∴BC∥PA,

∵sin∠BAC＝sin∠BOD＝∴设BD＝3，OB＝5，则OD＝4,

∵∠PAC＝∠ACB，且AB＝AC，PA＝PC,

∴∠BAC＝∠APC过点P作PE⊥BC交BC的延长线于E,

∴四边形APED为矩形 ,

∴PE＝AD＝9 ,

∴sin∠APC＝sin∠PCE＝，PC＝15，CE＝12,

过点C作CF⊥BP于F ,

∵△BCF∽△BPE

∴，CF＝，BF＝，PF＝∴tan∠BPC＝.