Question

【题目】如图，E. F. G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.

(1)判断四边形EFGH的形状，并说明你的理由；

(2)连接BD和AC,当BD、AC满足何条件时,四边形EFGH是正方形？证明你的理由.

Answer 1

【答案】（1）四边形EFGH是平行四边形，证明详见解析；（2）当BD=AC，且BD⊥AC时，EFGH是正方形，理由详见解析.

【解析】试题分析：（1）连接AC，由E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形中位线的性质，易得EF∥HG∥AC，且EF=HG=AC，则可得四边形EFGH是平行四边形；

（2）当BD=AC，易证得四边形ABCD是菱形，当BD⊥AC时，易得∠EHG=90°，则可得四边形EFGH是正方形．

试题解析：（1）四边形EFGH是平行四边形．

理由：连接AC，

∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴EF∥AC，且EF=AC，

同理，HG∥AC，且HG=AC，

∴EF∥HG，且EF=HG，

∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）当BD=AC，且BD⊥AC时，EFGH是正方形．

理由：连接AC，BD，

∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，

∴EF=GH=AC，GH=FG=BD，EH∥BD，GH∥AC，

∵BD=AC，BD⊥AC，

∴EH=EF=FG=GH，EH⊥GH，

∴四边形EFGH是菱形，∠EHG=90°，

∴四边形EFGH是正方形．