Question

【题目】在△ABC中，BC=3 ，AC=5，∠B=45°，对于下面四个结论：
①∠C一定是钝角； ②△ABC的外接圆半径为3；③sinA= ；④△ABC外接圆的外切正六边形的边长是 ．其中正确的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如图1，过C作CD⊥AB于D，过A作AE⊥BC于E，

∵∠B=45°，

∴△BDC是等腰直角三角形，

∵BC=3 ，

∴BD=CD=3，

由勾股定理得：AD= = =4，

∴sin∠BAC= = ，

所以③正确；

由S△ABC= ABCD= CBAE，

∴7×3=3 AE，

AE= = ，

在Rt△ABE中，

BE= = = ＞BC=3 = ，

∴∠ACB＞90°，

即∠C一定是钝角；

所以①正确；

如图2，设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA、OC，

∵∠B=45°，

∴∠AOC=2∠B=90°，

∵OA=OC，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∵AC=5，

∴OA= = ，

则△ABC的外接圆半径为 ；

所以②不正确；

如图3，此正六边形是△ABC的外接圆的外切正六边形，

Rt△ODF中，由②得：OD= ，

由题意得：△OEF是等边三角形，

∴∠OFE=60°，

tan60°= = ，

<>∴DF= × = ，

∴EF=2DF= ，

则△ABC外接圆的外切正六边形的边长是 ，

所以④正确，

故本题正确的结论有：①③④；3个；

所以答案是：C．

【考点精析】认真审题，首先需要了解圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，还要掌握正多边形和圆(圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；圆的外切四边形的两组对边的和相等)的相关知识才是答题的关键．