Question

【题目】定义：一个矩形的两邻边之比为 ，则称该矩形为“特比矩形”．
（1）如图①，在“特比矩形”ABCD中， = ，求∠AOD的度数；
（2）如图②，特比矩形CDEF的边CD在半圆O的直径AB上，顶点E、F在半圆上，已知直径AB= ，求矩形CDEF的面积；
（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为 ，点Q的坐标为（q，2 ），如果在⊙O上存在一点P，过点P作x轴的垂线与过点Q作y轴的垂线交于点M，过点P作y轴的垂线与过点Q作x轴的垂线交于点N，以点P、Q、M、N为顶点的矩形是“特比矩形”，请直接写出q的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图①中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，OA=OC=OD=OB，

∴tan∠ACB= = ，

∴∠ACB=60°，∵OC=OB，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠AOD=∠BOC=60°．

（2）解：如图②中，连接OE，设DE=a，则CD= a，

∵CF=DE，OE=OF，∠FCO=∠EDO=90°，

∴Rt△FOC≌Rt△EDO，

∴OC=OD= a，

在Rt△OED中，OE= ，

∵OE2=DE2+OD2，

∴ =a2+ a2，

∴a=1（负根已经舍弃），

∴DE=1，CD= ，

∴矩形CDEF的面积=1× = ．

（3）解：如图③中，

①当点P在x轴正半轴上，易知PM=2 ，

∵四边形PMQN是“特比矩形”，

∴MQ= PM=6，此时Q（ +6，2 ），

当点P′在y轴的正半轴上时，P′M′= ，

∵四边形PMQN是“特比矩形”，

∴P′M′= M′Q′，

∴M′Q′=1，

∴Q′（1，2 ），

根据对称性、观察图象可知：点Q的横坐标q的取值范围为1≤≤ +6或﹣ ﹣6≤q≤﹣1．

【解析】（1）由tan∠ACB= = ，推出∠ACB=60°，由OC=OB，推出△OBC是等边三角形即可解决问题．（2）如图②中，连接OE，设DE=a，则CD= a，由Rt△FOC≌Rt△EDO，推出OC=OD= a，在Rt△OED中，OE= ，根据OE2=DE2+OD2 ， 列出方程即可解决问题．（3）取两个特殊点，求出点Q的坐标，再根据对称性即可解决问题．