Question

【题目】综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．

探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：

证明：∵BE=AB，∴AE=2AB．

∵AD=2AB，∴AD=AE．

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．

∴．（依据1）

∵BE=AB，∴．∴EM=DM．

即AM是△ADE的DE边上的中线，

又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依据2）

∴AM垂直平分DE．

反思交流：

（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；

（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；

探索发现：

（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）①直接得出结论；

②借助问题情景即可得出结论；

（2）先判断出∠BCE+∠BEC=90°，进而判断出∠BEC=∠BCG，得出△GHC≌△CBE，判断出AD=BC，进而判断出HC=BH，即可得出结论；

（3）先判断出四边形BENM为矩形，进而得出∠1+∠2=90°，再判断出∠1=∠3，得出△ENF≌△EBC，即可得出结论．

（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）．

依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）．

②答：点A在线段GF的垂直平分线上．

理由：由问题情景知，AM⊥DE，

∵四边形DEFG是正方形，

∴DE∥FG，

∴点A在线段GF的垂直平分线上．

（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，

∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，

∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，

∴∠BCE+∠BEC=90°．

∵四边形CEFG为正方形，

∴CG=CE，∠GCE=90°，

∴∠BCE+∠BCG=90°．

∴∠2BEC=∠BCG．

∴△GHC≌△CBE．

∴HC=BE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC．

∵AD=2AB，BE=AB，

∴BC=2BE=2HC，

∴HC=BH．

∴GH垂直平分BC．

∴点G在BC的垂直平分线上．

（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）．

过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N．

∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．

∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，

∴∠CBE=∠ABC=90°，

∴四边形BENM为矩形．

∴BM=EN，∠BEN=90°．

∴∠1+∠2=90°．

∵四边形CEFG为正方形，

∴EF=EC，∠CEF=90°．

∴∠2+∠3=90°．

∴∠1=∠3．

∵∠CBE=∠ENF=90°，

∴△ENF≌△EBC．

∴NE=BE．∴BM=BE．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC．

∵AD=2AB，AB=BE．

∴BC=2BM．

∴BM=MC．

∴FM垂直平分BC．

∴点F在BC边的垂直平分线上．