Question

【题目】已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．

（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；

（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；

（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或

【解析】

试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；

（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；

②根据抛物线翻折理论即可解题；

（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题

试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，

∴对称轴为y=2；

∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；

∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；

（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，

整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；

∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；

∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；

②这两个点连线为y=﹣5；

将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；

∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，

（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，

则x=2时，y=2或者﹣2；

当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；

当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；

∴a=或；