Question

【题目】如图，AB是⊙的直径，过点A作⊙的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD.

（1）求证：；

（2）若AB=2，，求AE的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

(1)由AB是⊙O的直径，AC为⊙切线得到∠ADB=∠BAE=90°，进而可知 ∠DAE+∠BAD=∠CDE+∠ODA=，由OA=OD可知∠OAD=∠ODA，进而可知∠BAE=∠CDE，∠C为公共角，即可证明△CDE∽△CAD，（2）根据勾股定理可求出OC的长，进而求出DC的长，通过△CDE∽△CAD即可求出AE的长.

（1）∵AB为直径，AC为⊙切线，

∴∠ADB=∠BAE=，

∴∠DAE+∠BAD=∠CDE+∠ODA=，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠BAE=∠CDE，

∵∠C为公共角，

∴△CDE∽△CAD，

（2）∵AB=2，

∴AO=OD=1，

∵AC=,∠BAC=Rt∠，

∴，

∴DC=OC-OD=2，

∵△CDE∽△CAD，

∴，

∴，

∴.