Question

【题目】如图，点M为抛物线与x轴的焦点为A（-3,0），B（1,0），与y轴交于点C，连结AM，AC，点D为线段AM上一动点（不与A重合），以CD为斜边在CD上侧作等腰Rt△DEC，连结AE，OE.

（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）求解AD:OE的值；

（3）当△OEC为直角三角形时，求AD的值.

Answer 1

【答案】（1），M（-1，-4）；（2）；（3）或

【解析】

（1）根据点A、B的坐标代入，求出b、c的值即可求出抛物线的解析式，进而求出M的坐标，（2）通过解析式可求出C点坐标，可知AO=OC根据∠DCA+∠ACE=∠OCE+∠ACE=可证明∠DCA=∠OCE，进而可知△DCA∽△ECO.

即可求出AD:OE的值（3）分类讨论：当∠OEC=Rt∠时，由△DCA∽△ECO.可知∠ADC=∠OEC=Rt∠，由A、M、C三点坐标可求出三边长度，可知∠MCA=∠ADC=Rt∠

由∠DAC=∠CAM，可证明△ADC∽△ACM，即可求出AD的长；当∠ECO=Rt∠时，同理得∠ACD=Rt∠点D和点M重合，

（1）把A（-3,0），B（1,0）代入，得

∴

∴

∴M（-1，-4）

（2）当x=0时，解得y=-3，

∴C（0，-3）

∵A（-3，0）

∴AO=OC=3，

∵∠AOC=

∴∠OCA=且AC=OC

∵△CDE为等腰直角三角形

∴∠DCE=且DC=EC

∴∠DCA+∠ACE=∠OCE+∠ACE=

∴∠DCA=∠OCE.

∴△DCA∽△ECO.

∴

∴AD:OE=

（3）①当∠OEC=Rt∠时，

∵△DCA∽△ECO，

∴∠ADC=∠OEC=Rt∠.

连接MC，∵A（-3,0），C（0,-3），M（-1,-4）

∴，，

∴，即∠MCA=∠ADC=Rt∠

∵∠DAC=∠CAM，

∴△ADC∽△ACM，

∴

∴

②当∠ECO=Rt∠时，同理得∠ACD=Rt∠

∴点D和点M重合，∴