Question

【题目】已知抛物线y=3ax2+2bx+c，

（1）若a=3k，b=5k，c=k+1，试说明此类函数图象都具有的性质；

（2）若a=， c=2+b且抛物线在﹣2≤x≤2区间上的最小值是﹣3，求b的值；

（3）若a+b+c=1，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）x=- （2）3或 （3）存在必实数x，使得相应的y的值为1

【解析】

（1）把a=3k，b=5k，c=k+1代入抛物线解析式，抛物线y=3ax2+2bx+c可化为y=（9x2+10x+1）k+1，令9x2+10x+1=0，解得x1=-1，x2=，即可求得图解必过的点（﹣1，1），（，1），根据对称轴公式可得对称轴为直线x=；

（2）a=，c=2+b，则抛物线可化为y=x2+2bx+2+b，其对称轴为直线x=﹣b，然后根据b的取值范围分情况进行讨论即可得函数的最小值；

（3）由y=1可得3ax2+2bx+c=1，表示出方程的判别式，利用配方法及完全平方的非负性进行判断即可得结论.

（1）∵a=3k，b=5k，c=k+1，

∴抛物线y=3ax2+2bx+c可化为y=9kx2+10kx+k+1=（9x2+10x+1）k+1

∴令9x2+10x+1=0，

解得x1=-1，x2=，

∴图象必过（﹣1，1），（，1），

∴对称轴为直线x=﹣=；

（2）∵a=，c=2+b，

∴抛物线y=3ax2+2bx+c可化为y=x2+2bx+2+b，

∴对称轴为直线x=﹣b，

当﹣b＞2时即b＜﹣2，

x=2时y取到最小值为﹣3，

∴4+4b+2+b=﹣3，解得b=（不符合），

当﹣b＜2时即b＞﹣2，

x=2时y取到最小值为﹣3．

∴4+4b+2+b=﹣3，解得b=3；

当﹣2＜﹣b＜2时即﹣2＜b＜2，，

解得：(不符合），，

∴b=3或；

（3）∵a+b+c=1，

∴c﹣1=﹣a﹣b

令y=1，则3ax2+2bx+c=1．

△=4b2﹣4（3a）（c﹣1），

∴△=4b2+4（3a）（a+b）=9a2+12ab+4b2+3a2=（3a+2b）2+3a2 ，

∵a≠0，

∴（3a+2b）2+3a2＞0，

∴△＞0，

∴存在必实数x，使得相应的y的值为1．