Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于点A（﹣， 0），点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积s与t的函数解析式；

（3）若0＜t＜2且t≠0时，△OPN∽△COB，求点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+1；（2）S=﹣t2+t+；（3）点N的坐标为（1，2）

【解析】

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，然后利用待定系数法即可得；

（2）当﹣＜t＜2时，点N在x轴上方，则NP等于点N的纵坐标，求出AB的长，然后利用三角形面积公式即可得；

（3）根据相似三角形的性质可得PN=2PO，由于PN=﹣t2+t+1，PO=|t|=t，可得关于t的方程，解这个方程即可解决这个问题.

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意可得： ，

解得：，

∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+1；

（2）当﹣＜t＜2时，yN＞0，

∴NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1，

∴S=ABPN

=×（2+）×（﹣t2+t+1）

=（﹣t2+t+1）

=﹣t2+t+；

（3）∵△OPN∽△COB，

∴，

∴，

∴PN=2PO，

当0＜t＜2时，PN=|yN|=yN=﹣t2+t+1，PO=|t|=t，

∴﹣t2+t+1=2t，

整理得：3t2﹣t﹣2=0，

解得：t1=﹣，t2=1．

∵﹣＜0，0＜1＜2，

∴t=1，此时点N的坐标为（1，2），

故点N的坐标为（1，2）．