Question

【题目】如图在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点.

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

（2）连接AD、DC，求的面积；

（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3，（1，-4）（2）3（3）

【解析】试题分析：

（1）把点B、C的坐标代入所给解析式列出关于a、b的方程组，解方程组求得a、b的值即可得到所求所求解析式；

（2）由（1）中所得解析式可得求得点D的坐标，这样由两点间的距离公式可求得AC、CD、AD的长，结合勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，即可求得其面积了；

（3）如下图，由已知先证△CAD∽△AOB，进一步可证得∠BAC=∠BCD，结合△ABC是锐角三角形可知，若△OPC与它相似，则△OPC也是锐角三角形，则点P只能在第四象限，由点C、D的坐标可求得直线CD的解析式为，由此可得设点P的坐标为（0<t<3），过点P作PH⊥OC于点H，则OH=t，PH=6-2t，然后分①当∠POC=∠ABC，时,由tan∠POC=tan∠ABC得和②当∠POC=∠ACB时，由tan∠POC=tan∠ACB=tan45°=1得即可分别解得对应的t的值，从而求得点P的坐标.

试题解析：

（1）点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线上

∴，解得 ，

∴抛物线的表达式为，

∵，

∴顶点D的坐标是（1，-4）

（2）如下图，∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4），

∴AC=，CD=，AD=，

∴CD2=AC2+AD2，

∴∠CAD=90°，

∴S△ACD=AC·AD=3；

（3）如下图，∵∠CAD=∠AOB=90°，，

∴△CAD∽△AOB，

∴∠ACD=∠OAB，

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

∴∠OAC+∠OAB=∠OCA+∠ACD，即∠BAC=∠BCD，

若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ，且△ABC为锐角三角形

则△POC也为锐角三角形，点P在第四象限，

由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是，设P（0<t<3），

过P作PH⊥OC，垂足为点H，则OH=t，PH=6-2t，

①当∠POC=∠ABC时，由tan∠POC=tan∠ABC得，

∴，解得，

∴P1；

②当∠POC=∠ACB时，由tan∠POC=tan∠ACB=tan45°=1得，

∴ ，解得，

∴P2，

综上得P1或P2.