Question

【题目】如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，［a，b，c］称为“抛物线系数”．

（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是______（填“真”或“假”）命题；

（2）若一条抛物线系数为［1，0，－2］，则其“抛物线三角形”的面积为________；

（3）若一条抛物线系数为［－1，2b，0］，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；

（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB，如果存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）假；（2）；（3）y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3）或（－1，1）．

【解析】（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，由此可得出结论；

（2）根据“抛物线三角形”定义得到，由此可得出结论；

（3）根据“抛物线三角形”定义得到y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；

当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，

由抛物线顶点为（b，b2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，解方程即可得到结论；

（4）分两种情况讨论：①当抛物线为y＝－x2＋2x 时，②当抛物线为y＝－x2－2x 时．

（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；

（2）由题意得：，令y=0，得：x=，∴ S==；

（3）依题意：y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；

当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．

∵y＝－x2＋2bx=，∴顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：，∴，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，

∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．

（4）①当抛物线为y＝－x2＋2x 时．

∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，

∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），

则｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即．

∵a－2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1， －3）．

②当抛物线为y＝－x2－2x 时．

∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，

∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），

则｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即．

∵a+2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．

综上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．