Question

【题目】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转α后，与△ADE构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”。

（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形______（填“是”或“不是”）“旋转位似图形”；

如图1，△ABC和△ADE互为“旋转位似图形”，

①若α＝26，∠B＝100，∠E＝29，则∠BAE＝______；

②若AD＝6，DE＝8，AB＝4，则BC＝______；

（2）知识运用：

如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝90，AE⊥BD于E，∠DAC＝∠DBC，求证：△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；

（3）拓展提高：

如图3，△ABC为等腰直角三角形，点G为AC中点，点F是AB上一点，D是GF延长线上一点，点E在线段GF上，且△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，若AC＝6，AD＝2，求出DE和BD的值。

Answer 1

【答案】(1)是 ；①25；② ；（2）答案见解析；（3）DE＝2，BD＝．

【解析】（1）由“旋转位似图形”的定义解答即可．

（2）①由“旋转位似图形”的定义得到△ADE∽△ABC，从而可以得出∠C，∠BAC的度数，由旋转的性质可知：∠EAC=α=26°，即可得到结论．

②由相似三角形对应边成比例即可得到结论；

（2）通过证明△AOD∽△BOC，从而有△AOB∽△DOC，再由∠7＝∠8，得到△ABE∽△ACD，即可得到结论；

（3）过E作EH⊥AD于H，由△ABD∽△AGE，得到AE＝2．通过证明△AHE为等腰直角三角形和勾股定理，得到DE的长，由△ADB是Rt△得到BD的长．

（1）如图，△ADE和△ABC是等边三角形，∴△ADE∽△ABC，当△ADE绕点A顺时针旋转∠DAB的度数时，两个三角形位似，∴△ADE和△ABC互为“旋转位似图形”．

故答案为：是．

（2）①∵△ADE∽△ABC，∴∠E=∠C=29°，∴∠BAC=180°－100°－29°=51°，由旋转的性质可知：∠EAC=α=26°，∴∠BAE=51°－26°=25°．

故答案为：25°．

②∵△ADE∽△ABC，∴AD：DE=AB：BC，∴6：8=4：BC，解得：BC=．故答案为：．

（2）如图，

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴△AOD∽△BOC，∴．

又∵∠5＝∠6，

∴△AOB∽△DOC，

∴∠7＝∠8，

∴△ABE∽△ACD，

∴△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；

（3）过E作EH⊥AD于H．如图，

∵△ABD∽△AGE，

∴，∠1＝∠2．

∵AC＝6，AD＝，

∴AB＝，AG＝3，代入求得：AE＝2．

∵∠2＋∠3＝45，∠1＝∠2，

∴∠1＋∠3＝45．

∵AE＝2，∴AH＝，

∴AH＝AD，

∴DE＝AE＝2，

∴∠DEA＝∠GEA＝90，

∴∠ADB＝∠GEA＝90，

根据勾股定理，得：BD＝；

综上所述：DE＝2，BD＝．