Question

【题目】关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

Answer 1

【答案】D

【解析】

设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1x2=2n＞0、y1y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．

设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．

①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，

∴x1x2=2n＞0，y1y2=2m＞0，

∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，

∴这两个方程的根都是负根，①正确；

②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，

∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，

∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，

∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；

③∵y1y2=2m，y1+y2=-2n，

∴2m-2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，

∵y1、y2均为负整数，

∴（y1+1）（y2+1）≥0，

∴2m-2n≥-1．

∵x1x2=2n，x1+x2=-2m，

∴2n-2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，

∵x1、x2均为负整数，

∴（x1+1）（x2+1）≥0，

∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．

∴-1≤2m-2n≤1，③成立．

综上所述：成立的结论有①②③．

故选D．