Question

【题目】已知：△DEC的一个顶点D在△ABC内部，且∠CAD+∠CBD=90°．
（1）如图1，若△ABC与△DEC均为等腰直角三角形，且∠ABC=∠DEC=90°，连接BE，求证：△ADC∽△BEC．

（2）如图2，若∠ABC=∠DEC=90°， = =n，BD=1，AD=2，CD=3，求n的值；

（3）如图3，若AB=BC，DE=EC，且∠ABC=∠DEC=135°，BD=a，AD=b，CD=c，请直接写出a、b、c三者满足的等量关系．

Answer 1

【答案】
（1）

证明: ∵△ABC与△DEC均为等腰直角三角形，且∠ABC=∠DEC=90°，

∴△ABC∽△DEC，

∴ ，∠ACB=∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE，

∵ ，

∴△ACD∽△BCE

（2）

解：在Rt△ABC中，AC= = BC，

同理：CD= EC，

∵∠ABC=∠DEC=90°，

∵ = ，

∴

∴△ABC∽△DEC，

∴ = ，∠ACB=∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE，

∵ ，

∴△ACD∽△BCE，

∴ = ，

∴AD= BE，

∵AD=2，

∴BE= ，

在Rt△CDE中，CD2=DE2+CE2=（n2+1）CE2=9，

∴CE2=

∴DE2=n2CE2=n2× = ，

∵△ACD∽△BCE，

∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAD+∠CBD=90°，

∴∠DBE=∠CBE+∠CBE=90°，

在Rt△BDE中，DE2=BD2+BE2=1+ ，

∴ =1+ ，

∴n=﹣ （舍）或n=

（3）

解：c2﹣b2=（2+ ）a2，

理由：如图，∵AB=BC，DE=EC，

∴ ，

∵∠ABC=∠DEC，

∴△ABC∽△DEC，

∴ ，

∵AB=BC，DE=EC，且∠ABC=∠DEC=135°，

∴∠ACB=∠DCE=22.5°，

∴∠ACD=∠BCE，

∵ ，

∴△ACD∽△BCE，

∴ ，

∴ ，

过点D作DF⊥CE交CE的延长线于F，

∵∠DEC=135°，

∴∠DEF=45°，

设DF=x，

∴EF=x，DE= x，

∵EC=DE= x，

∴CF=EF+EC=（ +1）x，

在Rt△CDF中，CF2+DF2=CD2，

∴[（ +1）x]2+x2=c2，

∴x2= ，

∴DE2=2x2= ，

∴BE2= = × = ，

∵△ACD∽△BCE，

∴∠CAD=∠CBE，

∵∠CAD+∠CBD=90°，

∴∠DBE=∠CBE+∠CBE=90°，

在Rt△BDE中，DE2=BD2+BE2，

∴ =a2+ ，

∴c2﹣b2=（2+ ）a2．

【解析】（1）先判断出△ABC∽△DEC，得出 ，即可得出结论；（2）先求出AC= BC，同理：CD= EC，再判断出△ABC∽△DEC，得出比例式，继而判断出△ACD∽△BCE，即可得出AD= BE，BE= ，再利用勾股定理得出DE2= 再判断出∠DBE=90°，再用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；（3）同（2）的方法 ，再构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．