Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD= ，AE=3，求AF的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；

∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC

（2）解：∵CD=AB=4，AE⊥BC，
∴AE⊥AD； 在Rt△ADE中，DE= ，

∵△ADF∽△DEC，
∴ ；
∴ ，
解得AF=

【解析】（1）根据平行四边形的性质证出AD∥BC，AB∥CD，结合已知∠AFE=∠B．得出∠ADF=∠CED，∠AFD=∠C再根据两组角对应相等的两个三角形相似证得结论。
（2）根据平行四边形的性质及已知AE⊥BC，证明△ADE是直角三角形，利用勾股定理求出DE的长，再根据相似三角形的性质（△ADF∽△DEC）。得对应线段成比例，建立方程求出AF的长。