Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设抛物线上的一个动点P的横坐标为t（0＜t＜0），过点P作PD⊥BC于点D．
①求线段PD的长的最大值；②当BD=2CD时，求t的值；
（3）若点Q是抛物线的对称轴上的动点，抛物线上存在点M，使得以B、C、Q、M为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有满足条件的点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2+bx+c

将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c得 ，解得

∴抛物线所对应的函数关系式为y=﹣x2+2x+3；

（2）解：①过P作PN⊥x轴于点N，交BC于点E，如图1，

设直线BC解析式为y=kx+b，

把B（3，0），C（0，3）代入y=kx+b得 ，解得：k=﹣1，b=3，

∴直线BC解析式为y=﹣x+3，

设点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t+3），

∴PE=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

∵OB=OC=3，

∴∠OBC=45°

∵PD⊥BC，

∴∠PED=45°，

∴△PDE为等腰直角三角形，

∴PD= PE= （﹣t2+3t）=﹣ ，

∴当t= 时，PD的最大值为 ；

②过D作DG⊥x轴于点G，如图2，则DG∥OC

∴△BOC∽△BGD，

∴ ，

∵BD=2CD

∴BD：BC=2：3，

∴DG= OC=2，

∴点D的纵坐标为2，

把y=2代入y=﹣x+3得x=1，

∴D点坐标为（1，2），

设直线PD解析式为y=x+b

把D（1，2）代入上式得2=1+b，解得b=1

∴直线PD解析式为y=x+1，

解方程组 得 或 ，

∴P（2，3），

即当BD=2CD时，t的值为2；

（3）解：当四边形BQCM为平行四边形时，点Q向左平移1个单位可得到C点，则点B向左平移1个单位得到M点，

即M点的横坐标为2，当x=2时，y=﹣x2+2x+3=3，此时M点的坐标为（2，3）；当四边形BCQM为平行四边形时，点C向右平移1个单位可得到Q点，则点B向右平移1个单位可得到M点，即M点的横坐标为4，当x=4时，y=﹣x2+2x+3=﹣5，此时M点的坐标为（4，﹣5）；当四边形BCMQ为平行四边形时，点B向左平移2个单位可得到Q点，则点C向左平移2个单位得到M点，即M点的横坐标为﹣1，当x=﹣2时，y=﹣x2+2x+3=﹣5，此时M点的坐标为（﹣2，﹣5），

综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，3），（4，﹣5），（﹣2，﹣5）．

【解析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①过P作PN⊥x轴于点N，交BC于点E，如图1，先利用待定系数法求出直线BC解析式为y=﹣x+3，设点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t+3），所以PE=﹣t2+3t，再判定△PDE为等腰直角三角形得到PD= PE，所以PD= （﹣t2+3t），然后就利用二次函数的性质解决问题；②过D作DG⊥x轴于点G，如图2，通过证明△BOC∽△BGD，利用相似比可求出DG=2，则点D的纵坐标为2，于是利用二次函数解析式可确定D点坐标，接着求出直线PD解析式为y=x+1，然后解方程组 可得到P点坐标，从而得到t的值；（3）讨论：当四边形BQCM为平行四边形或四边形BCQM为平行四边形或四边形BCMQ为平行四边形，然后利用平行四边形的性质和点的平移坐标规律确定M点的横坐标，再利用二次函数解析式确定M点的纵坐．