Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，AB=8，BE=BC=10，动点P在线段BE上（与点B、E不重合），点Q在BC的延长线上，PE=CQ，PQ交EC于点F，PG∥BQ交EC于点G，设PE=x．

（1）求证：△PFG≌△QFC
（2）连结DG．当x为何值时，四边形PGDE是菱形，请说明理由；

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BC=BE，∴∠BCE=∠PEC，

∵PG∥BQ，

∴∠BCE=∠PGE，∠Q=∠FPG，∠QCF=∠PGF，

∴∠PGE=∠PEC，

∴PE=PG，

∵PE=CQ，

∴PG=CQ，

∴△PFG≌△QFC （ASA）．

（2）解：结论：当x=4时，四边形PGDE是菱形．

理由如下：连结DG

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

AB=CD=8，AD=BC=BE=10，

在Rt△ABE中，AE= ，

∴DE=AD﹣AE=10﹣6=4，

由（1）知PG=PE=x=4，

∴PG=DE，

∵PG∥BQ，AD∥BC，

∴PG∥DE，

∴四边形PGDE是平行四边形，

∵PG=PE=4，

∴四边形PGDE是菱形．

；（3）作PH⊥EC于点H．探究：

①点P在运动过程中，线段HF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求HF的长度；

②当x为何值时，△PHF与△BAE相似．

解：①不变化．

理由：在Rt△ABE中，CE= ，

∵PG=PE，PH⊥EC，

∴EH=HG= EG（等腰三角形“三线合一”），

∵△PFG≌△QFC，

∴CF=GF= CG，

∴HF=HG+FG= EG+ CG= CE= ，

②∵PG∥DE，

∴∠DEC=∠PGH，

在Rt△PGH中，PH=PG×sin∠PGH=x×sin∠DEC=x× =x× = ，

分两种情况讨论：

（Ⅰ）若△PHF∽△EAB，则 ，

∴ ，

∴ ，

∴当 时，△PHF∽△BAE．

（II）若△PHF∽△BAE，则 ，

∴ ，

∴ ，

∴当 或 时，△PHF与△BAE相似．

【解析】（1）只要证明PG=CQ，即可根据AAS或ASA证明；（2）结论：当x=4时，四边形PGDE是菱形．首先证明四边形PGDE是平行四边形，由PG=PE=4，即可推出四边形PGDE是菱形；（3）①不变化．可以证明：HF=HG+FG= EG+ CG= CE= ；②分两种情形讨论（Ⅰ）若△PHF∽△EAB，则 ，（II）若△PHF∽△BAE，则 ，分别列出方程即可解决问题；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用相似三角形的应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．