Question

【题目】综合与实践

问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．试说明中点四边形EFGH是平行四边形．

探究展示：勤奋小组的解题思路：

反思交流：

（1）①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？

依据1：　 　；依据2：　 　；

②连接AC，若AC＝BD时，则中点四边形EFGH的形状为　 　；

创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：

（2）如图（2），点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并说明理由；

（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其它条件不变，则中点四边形EFGH的形状为　 　．

Answer 1

【答案】（1）①依据1：三角形的中位线定理．依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．②菱形．理由见解析；（2）四边形EFGH是菱形．理由见解析；（3）正方形．理由见解析.

【解析】

（1）根据三角形中位线定理解答即可；

（2）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．

（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明．

（1）①依据1：三角形的中位线定理．

依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

②菱形．

理由：如图1中，

∵AE＝BE，AH＝HD，

∴EH＝BD，

∵DH＝HA，DG＝GC，

∴HG＝AC，

∴HE＝HG，

∵四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH是菱形．

故答案为三角形中位线定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，菱形．

（2）结论：四边形EFGH是菱形．

理由：如图2中，连接AC，BD

∵∠APB＝∠CPD

∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD

即：∠BPD＝∠APC

∵PA＝PB，PC＝PD

∴△APC≌△BPD

∴AC＝BD

∴HG＝HE

由(1)可知：四边形EFGH是平行四边形

∴四边形EFGH是菱形．

（3）结论：正方形．

理由：如图2﹣1中，连接AC，BD，BD交AC于点O，交GH于点K，AC交PD于点J．

∵△APC≌△BPD，∠DPC＝90°，

∴∠PDB＝∠PCA，

∵∠PJC＝∠DJO，

∴∠CPJ＝∠DOJ＝90°，

∵HG∥AC，

∴∠BKG＝∠BOC＝90°，

∵EH∥BD，

∴∠EHG＝∠BKG＝90°，

∵四边形EFGH是菱形，

∴四边形EFGH是正方形．