Question

【题目】在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（﹣3，0），B（0，﹣3）两点，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．

（1）求一次函数y=kx+b的解析式；
（2）若二次函数y=x2+mx+n图象的顶点在直线AB上，求m，n的值；
（3）当﹣3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣4，求m，n的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：A（﹣3，0），B（0，﹣3）代入y=kx+b得

，解得 ，

∴一次函数y=kx+b的解析式为：y=﹣x﹣3

（2）

解：二次函数y=x2+mx+n图象的顶点为（﹣ ， ）

∵顶点在直线AB上，

∴ = ﹣3，

又∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），

∴9﹣3m+n=0，

∴组成方程组为

解得 或

（3）

解：∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．

∴9﹣3m+n=0，

∵当﹣3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣4，

①如图1，当对称轴﹣3＜﹣ ＜0时

最小值为 =﹣4，与9﹣3m+n=0，组成方程组为

解得 或 （由﹣3＜﹣ ＜0知不符合题意舍去）

所以 ．

②如图2，当对称轴﹣ ＞0时，在﹣3≤x≤0时，x为0时有最小值为﹣4，

把（0，﹣4）代入y=x2+mx+n得n=﹣4，

把n=﹣4代入9﹣3m+n=0，得m= ．

∵﹣ ＞0，

∴m＜0，

∴此种情况不成立，

③当对称轴﹣ =0时，y=x2+mx+n的最小值为﹣4，

把（0，﹣4）代入y=x2+mx+n得n=﹣4，

把n=﹣4代入9﹣3m+n=0，得m= ．

∵﹣ =0，

∴m=0，

∴此种情况不成立，

④当对称轴﹣ ≤﹣3时，最小值为0，不成立

综上所述m=2，n=﹣3．

【解析】（1）利用待定系数法求出解析式，（2）先表示出二次函数y=x2+mx+n图象的顶点，利用直线AB列出式子，再与点A在二次函数上得到的式子组成方程组求得m，n的值，（3）本题要分四种情况①当对称轴﹣3＜﹣ ＜0时，②当对称轴﹣ ＞0时，③当对称轴﹣ =0时，④当对称轴﹣ ≤﹣3时，结合二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A得出的式子9﹣3m+n=0，求出m，n但一定要验证是否符合题意．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．