Question

【题目】如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=1，ED=2．
（1）求证：∠ABC=∠D；
（2）求AB的长；
（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠C与∠D所对应的弧均为 ，

∴∠C=∠D，

∴∠ABC=∠D

（2）解：∵∠ABC=∠D，∠BAE=∠DAB，

∴△ABE∽△ADB，

∴ ，

即AB2=AE（AE+ED）=3，

解得：AB=

（3）答：直线FA与⊙O相切．理由如下：

连接OA，

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD=90°，

在Rt△ABD中，AB= ，AD=1+2=3，

根据勾股定理得：BD=2 ，

∴OB=OA=AB= ，

∵BF=OB，

∴AB=FB=OB，即AB= OF，

∴∠OAF=90°，

则直线AF与⊙O相切．

【解析】（1）由AB=AC，利用等边对等角得到∠ABC=∠C，再由同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠D，等量代换即可得证；（2）由（1）的结论与公共角相等，得到△ABE与△ADB相似，由相似得比例，即可求出AB的长；（3）直线FA与⊙O相切，理由为：连接OA，由BD为直径，得到∠BAD为直角，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，得到AB=OB=OA，根据BF=BO，得到AB等于FO的一半，确定出∠OAF为直角，即可得证．
【考点精析】本题主要考查了圆周角定理和切线的判定定理的相关知识点，需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．