Question

【题目】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和A′B′C重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠B′=30°，AC=AC′=2．

（1）如图2，固定△ABC，将△A′B′C绕点C旋转，当点A′恰好落在AB边上时，
①∠CA′B′=；旋转角ɑ=（0°＜ɑ＜90°），线段A′B′与AC的位置关系是；
（2）②设△A′BC的面积为S1 ， △AB′C的面积为S2 ， 则S1与S2的数量关系是什么？证明你的结论；

（3）如图3，∠MON=60°，OP平分∠MON，OP=PN=4，PQ∥MO交ON于点Q．若在射线OM上存在点F，使S△PNF=S△OPQ ， 请直接写出相应的OF的长．

Answer 1

【答案】
（1）60°；60°；平行
（2）

解：S1=S2．理由如下：

∵A′B′∥AC，

∴A′E⊥BC，

在Rt△CA′E中，A′E= CA′=1，CE= A′E= ，

∴S1= 12 = ，

S2= 2 = ，

∴S1=S2

（3）

如图3，作PF1∥ON交OM于F1，作PF2⊥OP交OM于F2，

∵∠MON=60°，OP平分∠MON，

∴∠POQ=∠POF1=30°，

∵PQ∥OM，PF1∥OQ，

∴四边形OQPF1为平行四边形，

∴PF1=OQ，

∴S△NF1P=S△POQ，

∵∠OPF2=90°，∠F2OP=30°，

∴∠OF2P=60°，

而∠F2F1P=∠MON=60°，

∴△F2F1P为等边三角形，

∴PF2=PF1，

由（1）中的结论得S△PNF2=S△OPQ，

∴点F1、点F2为满足条件的点，

在Rt△OPF2中，sin∠POF2= ，

∴OF2= = ，

∴PF2= OF2= ，

∵PF1∥OQ，

∴∠OPF1=∠POQ=30°，

∴∠OPF1=∠POF1=30°，

∴OF1=PF1=PF2，

∴OF1= ，

综上所述，OF的长为 或 ．

【解析】解：（1）①如图1，∵∠C=90°，∠B=∠B′=30°，AC=AC′=2，
∴∠CAB=∠CA′B′=60°，BC=2 ，
如图2，
∵△A′B′C绕点C旋转，点A′恰好落在AB边上，
∴∠CAB=∠CA′B′=60°，CA=CA′，∠ACA′为旋转角，
∴△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
即旋转角为60°；
∵∠CA′B′=∠ACA′，
∴A′B′∥AC；
所以答案是60°；60°；平行；

【考点精析】利用全等三角形的性质和图形的旋转对题目进行判断即可得到答案，需要熟知全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等；每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．旋转的方向、角度、旋转中心是它的三要素．