Question

【题目】如图，已知 OACB 的顶点 O、A、B 的坐标分别是（0，a）、（b，0），且a、b 满足 b ．

（1）如图 1，a= ，b= ，点 C 的坐标 ．

（2）如图 2，点 P 为边 OB 上一动点，将线段 AP 绕 P 点顺时针旋转 90°至 PD．当点 P 从O 运动到 B 的过程中，求点 D 运动路径的长度．

（3）如图 3，在（2）的条件下，作等腰 Rt△BED，且∠DBE＝90°，再作等腰 Rt△ECF， 且∠ECF＝90°，直线 FE 分别交 AC、OB 于点 M、N，求证：FM＝EN．

Answer 1

【答案】（1）；；（，）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

（1）根据 b 可得且，从而确定a的值，代入求得b的值，然后利用平行四边形的性质确定点C的坐标；

（2）点P的运动轨迹为一条线段，则点D的运动轨迹也为一条线段，当点P与点O重合时，点D与点B重合，当点P与点B重合时，点D的位置如图1所示，点D的运动路径为BD，然后利用正方形和旋转的性质算出BD=；

（3）由（2）点D的运动路径可知点D在∠OBC的外角平分线上，过点F作FG垂直AC于点G，过E作EH垂直AC于点H，已知△FCE为等腰直角三角形，可推出△FGC≌△CHE（AAS），过点E作EQ垂直OB于点Q，可推出△FGM≌△ENQ（AAS），可得FM=EN．

解：∵ b

∴且

解得

∴将代入 b

∴b=

∴A（0，）、B（，0）

∴OA=OB=，

∵四边形OACB为平行四边形，∠AOB=90°，

∴四边形OACB为正方形，

∴C点坐标为（，）

故答案为：；；（，）；

（2）如图1所示，

∵点P的运动轨迹为一条线段，则点D的运动轨迹也为一条线段，

当点P与点O重合时，点D与点B重合，当点P与点B重合时，点D的位置如图1所示，

∴点D的运动路径为BD，

又∵线段 AP 绕 P 点顺时针旋转 90°至 PD且由（1）可知四边形四边形OACB为正方形

∴BD=AB=；

（3）如图2所示，

由（2）点D的运动路径可知点D在∠OBC的外角平分线上，

∴∠DBC=∠EBC=∠EBO=45°，

∴ED∥OB，

过点F作FG垂直AC于点G，过E作EH垂直AC于点H，

∴∠FGC=∠EHC=90°，

∵△FCE为等腰直角三角形，

∴FC=EC，∠FCE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠FCG=∠ECB=∠CEH，

∴△FGC≌△CHE（AAS），

∴CH=FG，

过点E作EQ垂直OB于点Q，

则BQ=EQ=CH=FG，

∵∠FGM=∠EQN=90°，

∠FMG=∠ENQ，

∴△FGM≌△ENQ（AAS），

∴FM=EN．