Question

【题目】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，该抛物线与x轴的两个交点分别为A和B，与y轴的交点为C，其中A（﹣1，0）．

（1）写出B点的坐标_____；

（2）若抛物线上存在一点P，使得△POC的面积是△BOC的面积的2倍，求点P的坐标；

（3）点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点D，求线段MD长度的最大值．

Answer 1

【答案】（3，0）

【解析】分析：（1）直接利用二次函数的对称性得出B点坐标即可；

（2）利用三角形面积求法结合抛物线上点的坐标性质得出答案；

（3）结合题意得出MD的函数关系式，进而得出答案．

详解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，该抛物线与x轴的两个交点分别为A和B，与y轴的交点为C，其中A（﹣1，0），

∴B点的坐标为：（3，0）；

故答案为：（3，0）；

（2）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，A（﹣1，0），B（3，0），

则，解得：，

故抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣3，

∴C（0，﹣3）．

∴．

∴S△POC=2S△BOC=9．

设点P的横坐标为xP，求得xP=±6．

代入抛物线的表达式，求得点P的坐标为（6，21），（﹣6，45）．

（3）由点B（3，0），C（0，﹣3），得直线BC的表达式为y=x﹣3，

设点M（a，a﹣3），则点D（a，a2﹣2a﹣3）．

∴MD=a﹣3﹣（ a2﹣2a﹣3）

=﹣a2+3a

=，

∴当时，MD的最大值为．