Question

【题目】如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，BD＝AD＝AC，AD与CE相交于点F，AE2＝EF·EC.

(1)求证：∠ADC＝∠DCE＋∠EAF；

(2)求证：AF·AD＝AB·EF.

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】试题分析：(1)、根据已知条件的线段比值以及∠AEF=∠CEA得出△EAF和△ECA相似，从而得出∠EAF=∠ECA，根据AD=AC得出∠ADC=∠ACD，从而得出角度之间的关系；(2)、根据第一题中的相似得出∠EFA=∠CAB，根据BD=AD得出∠B=∠EAF，从而得出△FAE和△ABC相似，即，根据AC=AD得出结论．

试题解析：(1)∵AE2＝EF·EC， ∴＝， 又∵∠AEF＝∠CEA， ∴△EAF∽△ECA，

∴∠EAF＝∠ECA. ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD.

∵∠ACD＝∠DCE＋∠ECA＝∠DCE＋∠EAF， ∴∠ADC＝∠DCE＋∠EAF；

(2)由(1)可知△EAF∽△ECA， ∴∠EFA＝∠EAC， 即∠EFA＝∠CAB.

∵BD＝AD， ∴∠B＝∠BAD，即∠B＝∠EAF， ∴△FAE∽△ABC，

∴＝， ∴FA·AC＝AB·FE， ∵AC＝AD， ∴AF·AD＝AB·EF．