Question

【题目】如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．

（1）求证：△COD是等边三角形；

（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）△AOD是直角三角形；（3）当α的度数为125 °或110 °或140 °时，△AOD是等腰三角形；

【解析】

（1）首先由旋转的定义和性质得到CO=CD，∠OCD=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到△COD是等边三角形；（2）根据旋转前后对应的两个三角形全等可得△BOC≌△ADC，利用全等三角形的性质得到∠ADC=∠BOC=α=150°，再利用△COD是等边三角形得∠ODC=60°，于是可计算出∠ADO的度数，据此判断△AOD的形状；（3）需要分三种情况讨论，即①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，再分别建立关于α的方程，求出α的度数；

解：

（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，

∴CO=CD，∠OCD=60°，

∴△COD是等边三角形；

（2）当∠α=150°时，△AOD是直角三角形.理由如下：

∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，

∴△BOC≌△ADC，

∴∠ADC=∠BOC=150°，

又∵△COD是等边三角形，

∴∠ODC=60°，

∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，

∴△AOD是直角三角形；

（3）①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，

∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，

∴190°-α=α-60°，

∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，

∵∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=180°-(190°-α+α-60°)=50°，

∴α-60°=50°，

∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，

∵∠AOD=190°-α，∠OAD==120°-，

∴190°-α=120°-，

解得α=140°．

综上所述：当α的度数为125 °或110 °或140 °时，△AOD是等腰三角形．