Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交边BC、AC于点D、点E，且AE=BE．
（1）如图①，求∠EBC的度数；
（2）如图②，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点G，交AC于点F，若⊙O的直径为10，求BG的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵AE=BE，

∴∠A=∠ABE= =45°，

∵AB=AC，

∴ =67.5°，

∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=22.5°

（2）解：连接OD，AD，∵FG是⊙O的切线，

∴GF⊥OD，

∴∠ODG=90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵OA=OB，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∴∠GOD=∠BAC=45°，

∵cos∠GOD= ，

∵⊙O的直径为10，

∴OB=OD=5，

∴OG=5 ，

∴BG=5 ﹣5．

【解析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；（2）连接OD，AD，由FG是⊙O的切线，得到∠ODG=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD∥AC，于是得到∠GOD=∠BAC=45°，于是得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角），以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．