Question

【题目】如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD、MN．

(1)求证：△PMN为等腰直角三角形；

(2)现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP，BD分别交于点G、H，请判断①中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)成立，理由见解析.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN，于是得到结论；

（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明．

(1)∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD(SAS)，

∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，

∵∠CBD+∠BDC＝90°，

∴∠EAC+∠BDC＝90°，

∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，

∴PM＝BD，PN＝AE，

∴PM＝PN，

∵PM∥BD，PN∥AE，

∴∠NPD＝∠EAC，∠MPA＝∠BDC，

∵∠EAC+∠BDC＝90°，

∴∠MPA+∠NPC＝90°，

∴∠MPN＝90°，

即PM⊥PN，

∴△PMN为等腰直角三角形；

(2)①中的结论成立，

理由：设AE与BC交于点O，如图②所示：

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．

∴∠ACE＝∠BCD，

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD(SAS)，

∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD．

∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD，

∴∠BHO＝∠ACO＝90°，

∴AE⊥BD，

∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，

∴PM＝BD，PM∥BD，PN＝AE，PN∥AE，

∴PM＝PN．

∵AE⊥BD，

∴PM⊥PN，

∴△PMN为等腰直角三角形．