Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．

（1）求证：四边形AFHG为正方形；

（2）若BD=6，CD=4，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）由折叠的性质可得到的条件是：①AG=AD=AF，②∠GAF=∠GAD+∠DAF=2∠BAC=90°，且∠G=∠F=90°；由②可判定四边形AGHF是矩形，由AG=AF可证得四边形AGHF是正方形；

（2）设AD=x，由折叠的性质可得：AD=AF=x（即正方形的边长为x），BG=BD=6，CF=CD=4；进而可用x表示出BH、HC的长，即可在Rt△BHC中，由勾股定理求得AD的长，进而可求出AB的长．

试题解析：（1）∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°；

由折叠可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，

∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，

∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；

∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；

∴四边形AFHG是正方形；

（2）∵四边形AFHG是正方形，

∴∠BHC=90°，

又GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4，

设AD的长为x，则BH=GH﹣GB=x﹣6，CH=HF﹣CF=x﹣4，

在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，

∴（x﹣6）2+（x﹣4）2=102，

解得x1=12，x2=﹣2（不合题意，舍去），

∴AD=12，

∴AB=.