Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：如图1，连接BC，过P作y轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，

在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，

∴A点坐标为（﹣1，0），

∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，

∴S△ABC= ABOC= ×4×3=6，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴直线BC解析式为y=x﹣3，

设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），

∵P点在第四限，

∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，

∴S△PBC= PMOH+ PMHB= PM（OH+HB）= PMOB= PM，

∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，

∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴当x= 时，PMmax= ，则S△PBC= × = ，

此时P点坐标为（ ，﹣ ），S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+ = ，

即当P点坐标为（ ，﹣ ）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为

（3）

解：①当点Q在x轴下方时，如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，

则∠AGB=∠GNC+∠GCN，

当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，

又∠AGB+∠CGB=180°，

∴∠AGB=∠CGB=90°，

∴∠ACO=∠OBN，

在Rt△AOC和Rt△NOB中

∴Rt△AOC≌Rt△NOB（ASA），

∴ON=OA=1，

∴N点坐标为（0，﹣1），

设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得 ，解得 ，

∴直线m解析式为y= x﹣1；

②当点Q在x轴上方时，此时直线m与①中的直线m关于x轴对称，

∴解析式为y=﹣ x+1；

综上可知存在满足条件的直线m，其解析式为y= x﹣1或y=﹣ x+1

【解析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）连接BC，则△ABC的面积是不变的，过P作PM//y轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时△PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，则可证得△AOC≌△NOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式．