Question

【题目】如图，在等边△BCD中，DF⊥BC于点F，点A为直线DF上一动点，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，连接EC．

（1）当点A在线段DF的延长线上时，

①求证：DA=CE；

②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由；

（2）当∠DEC=45°时，连接AC，求∠BAC的度数．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析②∠DEC+∠EDC=90°；（2）150°或30°

【解析】试题分析： ①证明△BAD≌△BEC，即可证明.

②分别求出和的度数，即可求出∠DEC和∠EDC的数量关系.

分三种情况进行讨论.

试题解析：

（1）①证明：∵把BA顺时针方向旋转60°至BE，

∴60°，

在等边△BCD中，

，

，

，

，

∴△BAD≌△BEC，

∴DA=CE；

②判断：∠DEC+∠EDC=90°．

， ， ，

∵△BAD≌△BEC，

∴∠BCE=∠BDA=30°，

在等边△BCD中，∠BCD=60°，

∴∠DCE=∠BCE+∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠EDC=90°．

（2）分三种情况考虑：

①当点A在线段DF的延长线上时（如图1），

由（1）可得， 是直角三角形， ，

当时，

，

， ，

由（1）得DA=CE，∴CD=DA，在等边中， ，

，

， ，

，

在中， ， ，

在中， ， ，

．

②当点A在线段DF上时（如图2），

以B为旋转中心，把BA顺时针旋转至BE.

，

在等边中， ，

，

，

，

≌，

，

在 ，

＜，

∵DA＜DF，DA=CE，

∴CE＜DC，

由②可知为直角三角形，

∴∠DEC≠45°．

③当点A在线段FD的延长线上时（如图3），

同第②种情况可得≌，

，

在等边中， ，

，

，

，

，

，

当时，

，

，

，

∴AD=CD=BD，

∵，

， ，

，

综上所述， 的度数是或